Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn Ôn tập Toán 9

Bạn đang xem bài viết ✅ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn Ôn tập Toán 9 ✅ tại website Pgdphurieng.edu.vn có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn lớp 9 là một trong những kiến thức quan trọng giúp các em học sinh giải được các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Vậy cách giải bài toán tìm GTLN, GTNN như thế nào? Mời các em học sinh hãy cùng Pgdphurieng.edu.vn theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bao gồm lý thuyết, cách giải, ví dụ minh họa kèm theo một số bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này sẽ giúp các bạn học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới. Bên cạnh đó để học tốt môn Toán 9 các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng .

Mục Lục Bài Viết

I. Định nghĩa GTLN, GTNN

Cho hàm số y = f(x).

Kí hiệu tập xác định của hàm số f(x) là D

– Giá trị lớn nhất: m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu:

f(x) ≤ m với mọi x ∈ D

Kí hiệu: m = maxf(x) x ∈ D hoặc giá trị lớn nhất của y = m.

Tham Khảo Thêm: LMHT: Làm sao để khắc chế Mordekaiser?

– Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu:

f(x) ≥ m với mọi x ∈ D

Kí hiệu: m = minf(x) x∈ D hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M.

II. Cách giải bài toán tìm gtln, gtnn lớp 9

1. Biến đổi biểu thức

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.

$left[ {begin{array}{*{20}{c}} {GTNN:sqrt {{A^2} + m} geqslant sqrt m } \ {GTLN:sqrt {m - {A^2}} leqslant sqrt m } end{array};left( {m geqslant 0} right)} right.$

Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2. Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm

Phương pháp:

– Để chứng minh biểu thức A luôn dương ta cần chỉ ra: $A = {A_1}^2 + k;left( {k > 0} right)$

– Để chứng minh biểu thức A luôn âm ta cần chỉ ra: $A =- {A_1}^2 - k;left( {k > 0} right)$

3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Cho hai số a, b không âm ta có:

$a + b geqslant 2sqrt {ab}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

4. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

$left| a right| + left| b right| geqslant left| {a + b} right|$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích $a.b geqslant 0$

III. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = frac{1}{{x - sqrt x + 1}}$

Gợi ý đáp án

Điều kiện xác định x ≥ 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì $x - sqrt x + 1$ đạt giá trị nhỏ nhất

Có $x - sqrt x + 1$

Lại có ${left( {sqrt x - frac{1}{2}} right)^2} ge 0forall x ge 0 Rightarrow {left( {sqrt x - frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4} ge frac{3}{4}forall x ge 0$

Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow sqrt x = frac{1}{2} Leftrightarrow x = frac{1}{4}$

Min $x - sqrt x + 1$

Vậy Max $A = frac{4}{3} Leftrightarrow x = frac{1}{4}$

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a. $E = frac{1}{{sqrt x + 1}}$

b. $D = frac{{sqrt x + 3}}{{sqrt x + 2}}$

Gợi ý đáp án

a. Điều kiện xác định $x geqslant 0$

Do $sqrt x geqslant 0 Rightarrow sqrt x + 1 geqslant 1 Rightarrow frac{1}{{sqrt x + 1}} leqslant 1 Rightarrow max A = 1$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0

b. Điều kiện xác định $x geqslant 0$

$D = frac{{sqrt x + 3}}{{sqrt x + 2}}$

Do $sqrt x geqslant 0 Rightarrow sqrt x + 2 geqslant 2 Rightarrow frac{1}{{sqrt x + 2}} leqslant frac{1}{2} Rightarrow max A = 1 + frac{1}{2} = frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $Q = {x^2}sqrt {9 - {x^2}}$

Gợi ý đáp án

Điều kiện xác định: $x in left[ { - 3;3} right]$

Ta có:

$begin{matrix} {Q^2} = {x^4}left( {9 - {x^2}} right) hfill \ {Q^2} = 4.dfrac{{{x^2}}}{2}.dfrac{{{x^2}}}{2}left( {9 - {x^2}} right) hfill \ end{matrix}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$begin{matrix} {Q^2} leqslant 4.dfrac{{{{left( {dfrac{{{x^2}}}{2} + dfrac{{{x^2}}}{2} + left( {9 - {x^2}} right)} right)}^3}}}{{27}} = 4.27 hfill \ Rightarrow Q leqslant 6sqrt 3 hfill \ Rightarrow max Q = 6sqrt 3 hfill \ end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = pm sqrt 6$

Bài 4: Cho biểu thức $A = left( {frac{1}{{x - sqrt x }} + frac{1}{{sqrt x - 1}}} right):frac{{sqrt x + 1}}{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}$

a, Rút gọn A

Tham Khảo Thêm: Những mẫu tranh treo tường đẹp nhất

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A - 9sqrt x$

Gợi ý đáp án

Cách 1

a, $A = left( {frac{1}{{x - sqrt x }} + frac{1}{{sqrt x - 1}}} right):frac{{sqrt x + 1}}{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}$ với x > 0, x ≠ 1

$= left( {frac{1}{{sqrt x left( {sqrt x - 1} right)}} + frac{1}{{sqrt x - 1}}} right):frac{{sqrt x + 1}}{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}$

$= frac{{1 + sqrt x }}{{sqrt x left( {sqrt x - 1} right)}}.frac{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}{{sqrt x + 1}} = frac{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}{{sqrt x left( {sqrt x - 1} right)}} = frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x }}$

b, $P = A - 9sqrt x$ với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: $frac{1}{{sqrt x }} + 9sqrt x ge 2.sqrt {frac{1}{{sqrt x }}.9sqrt x } = 6$

$Rightarrow - left( {frac{1}{{sqrt x }} + 9sqrt x } right) le - 6 Rightarrow 1 - left( {frac{1}{{sqrt x }} + 9sqrt x } right) le 1 - 6 = - 5 Leftrightarrow P le - 5$

Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow frac{1}{{sqrt x }} = 9sqrt x Leftrightarrow x = frac{1}{9}$ (thỏa mãn)

Vậy max $P = - 5 Leftrightarrow x = frac{1}{9}$

Cách 2: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện đề bài.

Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:

$P = A - 9sqrt x$

Theo bất đẳng thức Cauchy ra có:

$9sqrt x + frac{1}{{sqrt x }} geqslant 2sqrt {9sqrt x .frac{1}{{sqrt x }}} Leftrightarrow 9sqrt x + frac{1}{{sqrt x }} geqslant 6$

Như vậy P ≤ -5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $9sqrt x = frac{1}{{sqrt x }}$ hay x = 1/9

Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9

Cách 3: Dùng miền giá trị để đánh giá

Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:

$P = A - 9sqrt x$ (P < 1)

$begin{matrix} Leftrightarrow Psqrt x = sqrt x - 1 - 9x hfill \ Leftrightarrow 9x + left( {P - 1} right)sqrt x + 1 = 0 hfill \ Leftrightarrow 9{left( {sqrt x } right)^2} + left( {P - 1} right)sqrt x + 1 = 0left( * right) hfill \ end{matrix}$

Để tổn tại P thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là:

∆ = (P – 1)² – 36 ≥ 0 ⇔ (P – 1)² ≥ 36 ⇔ P – 1 ≤ -6 (Do P < 1) ⇔ P ≤ -5

Như vậy P ≤ -5 khi $sqrt x = frac{{ - left( {P - 1} right)}}{{2.9}} = frac{{ - left( { - 5 - 1} right)}}{{2.9}} = frac{1}{3} Rightarrow x = frac{1}{9}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9

Bài 5: Cho biểu thức $A = left( {frac{{sqrt x }}{{2 - sqrt x }} + frac{{sqrt x }}{{2 + sqrt x }}} right) - frac{{6 + sqrt x }}{{4 - x}}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Gợi ý đáp án

a, $A = left( {frac{{sqrt x }}{{2 - sqrt x }} + frac{{sqrt x }}{{2 + sqrt x }}} right) - frac{{6 + sqrt x }}{{4 - x}}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

$= frac{{sqrt x left( {2 + sqrt x } right) + sqrt x left( {2 - sqrt x } right)}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} - frac{{6 + sqrt x }}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}}$

$= frac{{2sqrt x + x + 2sqrt x - x}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} - frac{{6 + sqrt x }}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}}$

$= frac{{4sqrt x - 6 - sqrt x }}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} = frac{{3sqrt x - 6}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}}$

$= frac{{3.left( {sqrt x - 2} right)}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} = frac{{ - 3}}{{2 + sqrt x }}$

b, Có

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy min $A = frac{{ - 3}}{2} Leftrightarrow x = 0$

Bài 6.

Cho hai số thực a,b # 0 thỏa mãn $2{a^2} + dfrac{{{b^2}}}{4} + dfrac{1}{{{a^2}}} = 4$ . Tìm GTLN, GTNN của $S = ab + 2017$

Gợi ý đáp án

Ta giả thiết ta có:

$begin{array}{l} 4 = left( {{a^2} + dfrac{1}{{{a^2}}} - 2} right) + left( {{a^2} + dfrac{{{b^2}}}{4} - ab} right) + ab + 2\ = {left( {a - frac{1}{a}} right)^2} + {left( {a - dfrac{b}{2}} right)^2} + ab + 2\ Rightarrow ab + 2 le 4 Rightarrow ab + 2017 le 2019 Rightarrow S le 2019 end{array}$$

Mặt khác

$begin{array}{l} 4 = left( {{a^2} + dfrac{1}{{{a^2}}} - 2} right) + left( {{a^2} + dfrac{{{b^2}}}{4} - ab} right) - ab + 2\ = {left( {a - dfrac{1}{a}} right)^2} + {left( {a - dfrac{b}{2}} right)^2} - ab + 2\ Rightarrow - ab + 2 le 4 Rightarrow ab ge 2 Rightarrow ab + 2017 ge 2015 Rightarrow S ge 2015 end{array}$

Bài 7

Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn ${x^2} + dfrac{8}{{{x^2}}} + dfrac{{{y^2}}}{8} = 8$ . Tìm min, max của A= xy+2024

Gợi ý đáp án

Từ giả thiết ta có:

$begin{array}{l} 8 = {x^2} + dfrac{8}{{{x^2}}} + dfrac{{{y^2}}}{8} Rightarrow 16 = 2{x^2} + dfrac{{16}}{{{x^2}}} + dfrac{{{y^2}}}{4}\ = left( {{x^2} + dfrac{{16}}{{{x^2}}} - 8} right) + left( {{x^2} + xy + dfrac{{{y^2}}}{4}} right) - xy + 8\ Rightarrow 8 = {left( {x - dfrac{4}{x}} right)^2} + {left( {x + dfrac{y}{2}} right)^2} - xy + 8 le 16 Rightarrow xy ge - 8\ Rightarrow A = xy + 2024 ge 2016 end{array}$

Mặt khác

$begin{array}{l} 16 = left( {{x^2} + dfrac{{16}}{{{x^2}}} - 8} right) + left( {{x^2} + xy + dfrac{{{y^2}}}{4}} right) + xy + 8\ = {left( {x - dfrac{4}{x}} right)^2} + {left( {x + dfrac{y}{2}} right)^2} + xy - 8 Rightarrow xy - 8 le 16 Rightarrow xy le 8 Rightarrow S = xy + 2024 le 2032 end{array}$

Bài 8

Cho x, y khác 0 biết $8{x^2} + {y^2} + dfrac{1}{{4{x^2}}} = 4$ . Tìm x,y để B=xy đạt GTLN, GTNN

Hướng dẫn giải

Ta có

$begin{array}{l} 4 = 8{x^2} + {y^2} + dfrac{1}{{4{x^2}}} = left( {4{x^2} - 2 + dfrac{1}{{4{x^2}}}} right) + left( {4{x^2} + {y^2} - 4xy} right) + 4xy + 2\ 4 = {left( {2x - dfrac{1}{{2x}}} right)^2} + {left( {2x - y} right)^2} + 4xy + 2 Rightarrow 4xy + 2 le 4 Rightarrow B = xy le dfrac{1}{2} end{array}$

Mặt khác

$4 = {left( {2x - dfrac{1}{{2x}}} right)^2} + {left( {2x + y} right)^2} - 4xy + 2 Rightarrow - 4xy + 2 le 4 Rightarrow B = xy ge - dfrac{1}{2}$

IV. Bài tập tự luyện tìm GTLN, GTNN

Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

Tham Khảo Thêm: Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 (trang 68, 69, 70)

a. $sqrt {x - 4} - 2$

b. $x - sqrt x$

Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

a. $A = sqrt 3 - sqrt {x - 1}$	b. $B = 6sqrt x - x - 1$
c. $C = frac{1}{{x - sqrt x - 1}}$

Bài 3: Cho biểu thức:

$A = frac{{4left( {sqrt x + 1} right)}}{{25 - x}};B = left( {frac{{15 - sqrt x }}{{x - 25}} + frac{2}{{sqrt x + 5}}} right):frac{{sqrt x + 1}}{{sqrt x - 5}};left( {x geqslant 0;x ne 25} right)$

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn biểu thức B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Bài 4: Cho biểu thức: $A = frac{{5sqrt x - 3}}{{x + sqrt x + 1}}$ . Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho biểu thức:

$A = left( {frac{1}{{sqrt x - 1}} + frac{{sqrt x }}{{x - 1}}} right):frac{{2sqrt x + 1}}{{sqrt x + x + 2}};left( {x geqslant 0;x ne 1} right)$

a. Rút gọn A

b. Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 6: Cho biểu thức:

$B = frac{{{x^2} + sqrt x }}{{x - sqrt x + 1}} - frac{{2x + sqrt x }}{{sqrt x }} + 1;left( {x > 0} right)$

a. Rút gọn B

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.

Bài 7: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a, $A = frac{1}{{sqrt x + 1}}$	b, $B = frac{{sqrt x + 3}}{{sqrt x + 2}}$	c, $C = frac{{2sqrt x }}{{x + 1}}$
d, $D = frac{{sqrt x }}{{x + 4}}$	e, $E = frac{{2sqrt x }}{{{{left( {sqrt x + 1} right)}^2}}}$

Bài 8: Cho biểu thức $A = left( {frac{1}{{sqrt x - 1}} + frac{{sqrt x }}{{x - 1}}} right):frac{{2sqrt x + 1}}{{x + sqrt x - 2}}$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 9: Cho biểu thức $A = left( {frac{1}{{sqrt x }} + frac{{sqrt x }}{{sqrt x + 1}}} right):frac{{sqrt x }}{{x + sqrt x }}$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 10: Cho biểu thức $M = frac{{{a^2} + sqrt a }}{{a - sqrt a + 1}} - frac{{2a + sqrt a }}{{sqrt a }} + 1$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 12. Cho x,y khác 0 thỏa mãn $2{x^2} + dfrac{{{y^2}}}{4} + dfrac{1}{{{x^2}}} = 4$ . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

Bài 13. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn $2{x^2} + dfrac{{{y^2}}}{4} + dfrac{1}{{{x^2}}} = 4$ . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

3. Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của $A = left( {4{x^2} + 3y} right)left( {4{y^2} + 3x} right) + 25xy$

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, $A = frac{{ - 3}}{{sqrt x + 2}}$ với x ≥ 0	b, $B = frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x + 1}}$ với x ≥ 0
c, $C = frac{{x + 4}}{{sqrt x }}$ với x > 0	d, $D = frac{{x + sqrt x + 1}}{{sqrt x }}$ với x > 0

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn Ôn tập Toán 9 của Pgdphurieng.edu.vn nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.