Giải Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 (trang 106)

Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 106 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây thuộc chương 2 Hình học 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1 trang 106. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Chương 2 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Lý thuyết Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Định lý 1: Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Định lý 2. Trong hai dây của một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Xét đường tròn (O):

Khi đó:

Giải bài tập toán 9 trang 106 tập 1

Bài 12 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

a) Kẻ OJ vuông góc với AB tại J.

Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây suy ra: J là trung điểm của AB.

Ta được cm

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAJ có:

OJ² = OA² – AJ² = 5² – 4² = 9 (OA = R = 5cm)

=> OJ = 3cm (1)

Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là OJ = 3cm.

b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M.

Tứ giác OJIM có: góc I = góc J = góc M = 90⁰ nên là hình chữ nhật

Ta có IJ = AJ – AI = 4 – 1 = 3cm

=> OM = IJ = 3cm (Tính chất hình chữ nhật) (2)

Từ (1), (2) suy ra CD = AB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau). (đpcm)

Bài 13 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) EH = EK

b) EA = EC.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

a) Nối OE ta có: AB = CD

=> OH = OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)

H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

K là trung điểm của CD nên OK ⊥ CD (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Hai tam giác vuông OEH và OEK có:

OE là cạnh chung

OH = OK

Do đó ΔOEH = ΔOEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

=> EH = EK (1). (đpcm)

b) Ta có: H là trung điểm của AB nên AH =

K là trung điểm của CD nên

(định lí 1)

Tương tự

Mà AB = CD (gt) suy ra AH = KC (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

EA = EH + HA = EK + KC = EC

Vậy EA = EC. (đpcm)

Giải bài tập toán 9 trang 106 tập 1: Luyện tập

Bài 14 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

Kẻ OM ⊥ AB, ON ⊥ CD.

Ta thấy M, O, N thẳng hàng. Ta có:

= 20 cm; MN = 22 cm

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AMO có:

OM² = OA² – AM² = 25² – 20² = 225

=> OM = √225 = 15cm

=> ON = MN – OM = 22 – 15 = 7 (cm)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CON có:

CN² = CO² – ON² = 25² – 7² = 576

=> CN = √576 = 24

=> CD =

Bài 15 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD.

Hãy so sánh các độ dài:

a) OH và OK

b) ME và MF

c) MH và MK.

Gợi ý đáp án

a) Trong đường tròn nhỏ:

AB > CD => OH < OK (định lí 3)

b) Trong đường tròn lớn:

OH < OK => ME > MF (định lí 3)

c) Trong đường tròn lớn:

ME > MF => MH > MK

Bài 16 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.

Gợi ý đáp án

Kẻ OH ⊥ EF.

Trong tam giác vuông OHA vuông tại H có OA > OH (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên).

Vì OA > OH nên BC < EF (định lí 3).