Đáp án bài toán đếm ‘khoảnh khắc đẹp’ trong ngày

Đề bài:
Trong một ngày chiếc đồng hồ điện tử chỉ thời gian và đổi số theo từng phút từ 00:00 đến 23:59. Ta gọi ab:cd là “khoảnh khắc đẹp” nếu số chỉ giờ ab chia hết cho số chỉ phút cd chẳng hạn lúc 4 giờ 8 phút chiều thì đồng hồ hiển thị 16:08 là một “khoảnh khắc đẹp” vì 16 chia hết cho 8.

Hỏi có bao nhiêu “khoảnh khắc đẹp” trong một ngày?

Hướng dẫn cách giải

Ta sẽ phân loại các trường hợp theo các ước số khác nhau của số chỉ giờ ab.

Nếu ab là 00 thì do 00 có 59 ước số cd là các số tự nhiên liên tiếp từ 01 đến 59 nên có 59 khoảnh khắc đẹp.

Nếu ab là 01 hoặc là một trong 9 số nguyên tố 02, 03, 05, 07, 11, 13, 17, 19, 23 thì ab chia hết cho cd khi và chỉ khi cd là 01 hoặc ab = cd tức là có 1+ 9 x 2 = 19 khoảnh khắc đẹp.

Nếu ab là 04, 09 thì do 4 và 9 đều có 3 ước số nên có 2 x 3 = 6 khoảnh khắc đẹp.

Nếu ab là 06, 08, 10, 14, 15, 21, 22 đều có 4 ước số nên có 7 x 4 = 28 khoảnh khắc đẹp.

Nếu ab là 12, 18, 20 đều có 6 ước số nên có 3 x 6 = 18 khoảnh khắc đẹp.
Nếu ab là 16 có 5 ước số nên có 5 khoảnh khắc đẹp.

Vậy trong một ngày có 59 + 19 + 6 + 28 + 18 + 5 = 135 lần đồng hồ hiện số chỉ giờ ab chia hết cho số chỉ phút cd tức là có 135 khoảnh khắc đẹp.

Đáp số: 135

Trần Phương