Đáp án bài toán chia 315 viên sỏi thành ba phần

Đề bài:

Có 315 viên sỏi được chia thành ba phần, số viên sỏi ở các phần lần lượt là 81, 115 và 119.

Mỗi bước, ta có thể gom một số phần lại thành một phần hoặc chia một phần có số chẵn viên sỏi thành hai phần có số viên sỏi bằng nhau.

Hỏi, sau một số hữu hạn bước thì có thể thu được 315 phần, mỗi phần một viên sỏi hay không? Vì sao?

Lời giải:

Ban đầu, mỗi phần có số lẻ các viên sỏi nên chắc chắn ở bước đầu tiên, phải gom một số phần lại làm một. Nếu gom cả ba phần lại làm một thì sẽ không thể thực hiện được thêm bước nào, do đó chỉ có thể gom hai phần lại.

Nếu ở bước đầu tiên, hai phần gom lại là 81 và 115 thì sau bước này, ta có hai phần với số sỏi ở mỗi phần lần lượt là 196 và 119. Do 196 và 119 cùng chia hết cho 7 nên kể từ đây, dù ta có thực hiện gom lại hay chia ra thì số sỏi ở mỗi phần luôn chia hết cho 7. Và vì vậy, chắc chắn không thể thu được 315 phần, mỗi phần một viên sỏi.

Tương tự, nếu hai phần gom lại là 81 và 119 thì sau đó, số sỏi ở mỗi phần luôn chia hết cho 5; còn nếu hai phần gom lại là 115 và 119 thì sau đó, số sỏi ở mỗi phần luôn chia hết cho 9. Do đó, chắc chắn không thể thu được 315 phần, mỗi phần một viên sỏi.

Tóm lại, dù thực hiện thế nào đi chăng nữa, ta cũng không thể thu được 315 phần, mỗi phần một viên sỏi.

Võ Quốc Bá Cẩn

Giáo viên Toán, trường Achirmedes Academy, Hà Nội